Случайные величины. Случай - попадание в мишень при 6 выстрелах

Задача 1
Х – число попаданий в мишень при 6 выстрелах. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти закон распределения случайной величины Х, математическое ожидание и дисперсию.
Решение
Случайная величина Х может принимать 7 значений: k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность успеха по условию равна p=0,6, а неуспеха – q=1-p=1-0,6=0,4. Для решения воспользуемся формулой Бернулли для n=6 испытаний.
Формула Бернулли: P(X=k)=C_n^k∙p^k∙q^(n-k)
Вычислим вероятности для каждого значения k:
P"(k=0)=" "C" _"6" ^"0" "∙" 〖"0,6" 〗^"0" "∙" 〖"0,4" 〗^"6-0" "=" "6!" /"0!∙(6-0)!" "∙1∙" 〖"0,4" 〗^"6" "=" 〖"0,4" 〗^"6" "=0,0041"
"P(k=1)=" "C" _"6" ^"1" "∙" 〖"0,6" 〗^"1" "∙" 〖"0,4" 〗^"6-1" "=" "6!" /"1!∙(6-1)!" "∙0,6∙" 〖"0,4" 〗^"5" "=" "6!" /"1!∙5!" "∙0,6∙" 〖"0,4" 〗^"5" "=3,6∙" 〖"0,4" 〗^"5" "=0,0369"
"P(k=2)=" "C" _"6" ^"2" "∙" 〖"0,6" 〗^"2" "∙" 〖"0,4" 〗^"6-2" "=" "6!" /"2!∙(6-2)!" "∙" 〖"0,6" 〗^"2" "∙" 〖"0,4" 〗^"4" "=" "6!" /"2!∙4!" "∙" 〖"0,6" 〗^"2" "∙" 〖"0,4" 〗^"4" "=0,1382"
"P(k=3)=" "C" _"6" ^"3" "∙" 〖"0,6" 〗^"3" "∙" 〖"0,4" 〗^"6-3" "=" "6!" /"3!∙(6-3)!" "∙" 〖"0,6" 〗^"3" "∙" 〖"0,4" 〗^"3" "=" "6!" /"3!∙3!" "∙" 〖"0,6" 〗^"3" "∙" 〖"0,4" 〗^"3" "=0,2765"
"P(k=4)=" "C" _"6" ^"4" "∙" 〖"0,6" 〗^"4" "∙" 〖"0,4" 〗^"6-4" "=" "6!" /"4!∙(6-4)!" "∙" 〖"0,6" 〗^"4" "∙" 〖"0,4" 〗^"4" "=" "6!" /"4!∙2!" "∙" 〖"0,6" 〗^"4" "∙" 〖"0,4" 〗^"2" "=0,3110"
"P(k=5)=" "C" _"6" ^"5" "∙" 〖"0,6" 〗^"5" "∙" 〖"0,4" 〗^"6-5" "=" "6!" /"5!∙(6-5)!" "∙" 〖"0,6" 〗^"5" "∙" 〖"0,4" 〗^"1" "=" "6!" /"5!∙1!" "∙" 〖"0,6" 〗^"5" "∙" 〖"0,4" 〗^"1" "=0,1866"
"P(k=6)=" "C" _"6" ^"6" "∙" 〖"0,6" 〗^"6" "∙" 〖"0,4" 〗^"6-6" "=" "6!" /"6!∙(6-6)!" "∙" 〖"0,6" 〗^"6" "∙" 〖"0,4" 〗^"0" "=" "6!" /"6!∙0!" "∙" 〖"0,6" 〗^"6" "∙" 〖"0,4" 〗^"0" "=0,0467"
Закон распределения дискретной случайной величины Х представим в виде таблицы:
X 0 1 2 3 4 5 6
P(X) 0,0041 0,0369 0,1382 0,2765 0,3110 0,1866 0,0467
Математическое ожидание случайной величины Х найдем по формуле:
"M(X)=" ∑_"i" ▒〖"x" _"i" "∙" "p" _"i" 〗
Для нашей задачи:
"M(X)=0∙0,0041+1∙0,0369+2∙0,1382+3∙0,2765+4∙0,3110+5∙0,1866+6∙0,0467=3,6"
Дисперсия вычисляется по формуле: "D(X)=" ∑_"i" ▒〖〖"(" "x" _"i" "-M(X))" 〗^"2" "∙" "p" _"i" 〗